10. (1 балл) Вычислить массу стержня длиной 3, если его плотность задаётся функцией \( \rho(x) = x^2 + 2 \).

Решение:

Масса стержня вычисляется как интеграл от плотности по длине стержня. Длина стержня от 0 до 3.

1. Запишем интеграл: \( m = \int_{0}^{3} \rho(x) dx = \int_{0}^{3} (x^2 + 2) dx \)
2. Вычислим интеграл: \( m = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{0}^{3} \)
3. Подставим пределы интегрирования: \( m = \left( \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0 \right) \)
4. \( m = \left( \frac{27}{3} + 6 \right) - (0) \)
5. \( m = (9 + 6) = 15 \)

Ответ: 15.