11. (1 балл) Найдите область определения функции \( y = \sqrt{-x^2 + 8x + 9} \).

Решение:

Для того чтобы выражение под корнем было определено, оно должно быть неотрицательным:

1. \( -x^2 + 8x + 9 \ge 0 \)
2. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2 - 8x - 9 \le 0 \)
3. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 8x - 9 = 0 \):
4. \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \)
5. \( x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \)
6. \( x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1 \)
7. Получили параболу, ветви которой направлены вверх. Неравенство \( x^2 - 8x - 9 \le 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( [-1; 9] \).