16. (3 балла) Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \log_9 (x-y) = 1/2 \\ \log_{64}x - \log_{64}y = 1/3 \end{cases}\).

Решение:

Преобразуем первое уравнение:

1. \( x - y = 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3 \)
2. Из этого уравнения выразим \( x \): \( x = y + 3 \).

Преобразуем второе уравнение:

1. \( \log_{64} \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \)
2. \( \frac{x}{y} = 64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4 \)
3. \( x = 4y \).

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

1. \( \begin{cases} x = y + 3 \\ x = 4y \end{cases} \)
2. Приравняем правые части: \( y + 3 = 4y \)
3. \( 3 = 3y \)
4. \( y = 1 \)
5. Подставим \( y = 1 \) в любое из уравнений, например, \( x = 4y \): \( x = 4 \cdot 1 = 4 \)
6. Проверим найденные значения в исходной системе.
• Первое уравнение: \( \log_9 (4-1) = \log_9 3 = 1/2 \) (верно).
• Второе уравнение: \( \log_{64} 4 - \log_{64} 1 = \log_{64} \frac{4}{1} = \log_{64} 4 = 1/3 \) (верно, так как \( 64^{1/3} = 4 \)).

Ответ: \( x=4, y=1 \).