14. (3 балла) Решите уравнение: \( 8\sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0 \).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), откуда \( \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x \).

1. Подставим в уравнение: \( 8(1 - \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0 \)
2. \( 8 - 8\cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0 \)
3. \( -8\cos^2 2x + \cos 2x + 9 = 0 \)
4. Умножим на -1: \( 8\cos^2 2x - \cos 2x - 9 = 0 \)
5. Сделаем замену \( t = \cos 2x \). Получим квадратное уравнение: \( 8t^2 - t - 9 = 0 \)
6. Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 \)
7. \( t_1 = \frac{1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \)
8. \( t_2 = \frac{1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{1 - 17}{16} = \frac{-16}{16} = -1 \)
9. Вернёмся к замене:
• \( \cos 2x = \frac{9}{8} \). Это уравнение не имеет решений, так как \( \frac{9}{8} > 1 \).
• \( \cos 2x = -1 \). Общее решение этого уравнения: \( 2x = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).