10. (2 балла) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = x^2 - 2x + 2 \), прямыми \( a=1 \), \( b=2 \) и осью Ох.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью Ох и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

В данном случае \( f(x) = x^2 - 2x + 2 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \).

Сначала определим, является ли функция \( y = x^2 - 2x + 2 \) положительной на отрезке \([1; 2]\).

Выделим полный квадрат:

\[ y = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1 \]

Так как \( (x-1)^2 ≥ 0 \) для всех \( x \), то \( y = (x-1)^2 + 1 ≥ 1 \). Следовательно, функция положительна на всём отрезке \([1; 2]\).

Вычислим определенный интеграл:

\[ S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx \]

Найдём первообразную:

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \]

Теперь вычислим значение определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

\[ S = F(2) - F(1) \]\[ F(2) = \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2(2) = \frac{8}{3} - 4 + 4 = \frac{8}{3} \]\[ F(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2(1) = \frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \]

\( S = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \)

Ответ: \(\frac{4}{3}\)