3. (1 балл) Найдите 5 sin α, если cos α = \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\).

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

Выразим \(\sin^2 \alpha\):

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \]\[ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \]\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5} \]

По условию \(\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\). Это четвёртый координатный угол, где синус отрицателен.

Следовательно, \(\sin \alpha = -\frac{1}{5}\).

Теперь найдём \(5 \sin \alpha\):

\[ 5 \sin \alpha = 5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -1 \]

Ответ: -1