4. (1 балл) Найдите корень уравнения \(\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\).

Решение:

Решим уравнение \(\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\).

Общее решение уравнения \(\sin y = a\) имеет вид \( y = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( y = x + \frac{\pi}{4} \) и \( a = \frac{1}{2} \).

\( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \).

Значит, \( x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \).

Выразим \( x \):

\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n - \frac{\pi}{4} \]

Рассмотрим два случая:

1. Если \( n \) — чётное, \( n = 2k \):

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \]

2. Если \( n \) — нечётное, \( n = 2k + 1 \):

\[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi (2k+1) - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{10\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \]

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \) или \( x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).