10. (4 б) Даны точки A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(0; 1; 1), D(1; 1; 0). Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Найдём два соседних вектора:

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(-1;0;1),\qquad \overrightarrow{AD}=D-A=(0;1;0).\]

Их скалярное произведение равно нулю:

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(-1)\cdot0+0\cdot1+1\cdot0=0,\]

поэтому угол между ними прямой. Длины сторон:

\[|AB|=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt2,\qquad |AD|=1.\]

Площадь параллелограмма ABCD:

\[S=|AB|\cdot|AD|=\sqrt2\cdot1=\sqrt2.\]

Ответ: \(S_{ABCD}=\sqrt2\).