10. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Докажите, что прямая b лежит в плоскости β.

Доказательство:

По условию, точка \( A \) лежит на прямой \( a \).

Плоскость \( \beta \) перпендикулярна прямой \( a \) и проходит через точку \( A \).

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая \( b \) проходит через точку \( A \) и перпендикулярна прямой \( a \).

Так как плоскость \( \beta \) проходит через точку \( A \) и перпендикулярна прямой \( a \), то любая прямая, проходящая через \( A \) и перпендикулярная \( a \), должна лежать в плоскости \( \beta \).

Поскольку прямая \( b \) проходит через \( A \) и перпендикулярна \( a \), она является такой прямой.

Следовательно, прямая \( b \) лежит в плоскости \( \beta \).

Что и требовалось доказать.