11. Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.

Доказательство:

1. Существование:

Пусть дана плоскость \( \alpha \) и точка \( M \) в ней.

Построим прямую \( a \), проходящую через точку \( M \) и перпендикулярную плоскости \( \alpha \). Такая прямая существует по аксиоме стереометрии (через точку вне плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная плоскости; если точка лежит в плоскости, то мы можем провести через нее перпендикулярную прямую, например, как перпендикуляр к некоторой прямой плоскости, проведенной через эту точку).

2. Единственность:

Предположим, что существует другая прямая \( b \), проходящая через точку \( M \) и перпендикулярная плоскости \( \alpha \).

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Если \( a \) перпендикулярна \( \alpha \) и \( b \) перпендикулярна \( \alpha \) в точке \( M \), то \( a \) и \( b \) обе перпендикулярны \( \alpha \) в одной точке \( M \).

Согласно теореме стереометрии, через точку \( M \) может проходить только одна прямая, перпендикулярная плоскости \( \alpha \).

Следовательно, прямые \( a \) и \( b \) должны совпадать.

Таким образом, через данную точку плоскости можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Что и требовалось доказать.