8. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин B и C, если AC = a, BC = b, AD = c.

Решение:

По условию, \( AD \) перпендикулярна плоскости \( \boldsymbol{\triangle ABC} \). Это означает, что \( AD \) перпендикулярна любым прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку А. Следовательно, \( \boldsymbol{\angle DAC = 90^{\circ}} \) и \( \boldsymbol{\angle DAB = 90^{\circ}} \).

Рассмотрим прямоугольные треугольники:

1. \( \boldsymbol{\triangle DAC} \): \( DC^2 = AD^2 + AC^2 \). По теореме Пифагора: \( DC^2 = c^2 + a^2 \). Следовательно, \( \boldsymbol{DC = \sqrt{c^2 + a^2}} \).
2. \( \boldsymbol{\triangle DAB} \): \( DB^2 = AD^2 + AB^2 \). Нам нужно найти \( AB \). В прямоугольном \( \boldsymbol{\triangle ABC} \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + b^2 \).
3. Подставим \( AB^2 \) в формулу для \( DB^2 \): \( DB^2 = c^2 + (a^2 + b^2) = a^2 + b^2 + c^2 \). Следовательно, \( \boldsymbol{DB = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \).

Ответ: \( DC = \sqrt{c^2 + a^2} \), \( DB = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \).