Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть расстояния от точки К до вершин прямоугольника равны: \( KB = 6 \) м, \( KC = 7 \) м, \( KD = 9 \) м.
Так как \( AK \) перпендикулярна плоскости прямоугольника, то \( AK \) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку А. Следовательно, \( \triangle AKB \), \( \triangle AKC \) и \( \triangle AKD \) — прямоугольные треугольники с прямым углом \( \boldsymbol{\angle AKB} \), \( \boldsymbol{\angle AKC} \) и \( \boldsymbol{\angle AKD} \) соответственно.
По теореме Пифагора имеем:
\( KB^2 = AK^2 + AB^2 \) (1)
\( KC^2 = AK^2 + AC^2 \) (2)
\( KD^2 = AK^2 + AD^2 \) (3)
Из (1): \( AB^2 = KB^2 - AK^2 = 6^2 - AK^2 = 36 - AK^2 \).
Из (3): \( AD^2 = KD^2 - AK^2 = 9^2 - AK^2 = 81 - AK^2 \).
В прямоугольнике \( ABCD \) диагональ \( AC \) связана со сторонами \( AB \) и \( AD \) соотношением \( AC^2 = AB^2 + AD^2 \).
Подставим выражения для \( AB^2 \) и \( AD^2 \) в это уравнение:
\( AC^2 = (36 - AK^2) + (81 - AK^2) = 117 - 2 \boldsymbol{AK}^2 \).
Теперь подставим \( AC^2 \) в уравнение (2):
\( KC^2 = AK^2 + AC^2 \) \( \implies 7^2 = AK^2 + (117 - 2 \boldsymbol{AK}^2) \)
\( 49 = AK^2 + 117 - 2 \boldsymbol{AK}^2 \)
\( 49 = 117 - \boldsymbol{AK}^2 \)
\( \boldsymbol{AK}^2 = 117 - 49 \)
\( \boldsymbol{AK}^2 = 68 \)
\( \boldsymbol{AK} = \boldsymbol{\sqrt{68}} = \boldsymbol{\sqrt{4 \cdot 17}} = \boldsymbol{2\boldsymbol{\sqrt{17}}} \) м.
Ответ: \( 2\boldsymbol{\sqrt{17}} \) м.
