9. Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.

Доказательство:

1. Существование:

Пусть дана прямая \( a \) и точка \( M \) на ней.

Проведем через точку \( M \) любую прямую \( b \), перпендикулярную прямой \( a \) (такая прямая существует). Затем проведем через прямые \( a \) и \( b \) плоскость \( \alpha \). Плоскость \( \alpha \) содержит прямую \( a \). Так как прямая \( b \) лежит в плоскости \( \alpha \) и перпендикулярна прямой \( a \), то плоскость \( \alpha \) перпендикулярна прямой \( a \).

2. Единственность:

Предположим, что существует другая плоскость \( \beta \), проходящая через точку \( M \) и перпендикулярная прямой \( a \).

Если плоскость \( \beta \) перпендикулярна прямой \( a \), то любая прямая, лежащая в плоскости \( \beta \) и проходящая через точку \( M \), должна быть перпендикулярна прямой \( a \).

Рассмотрим плоскость \( \alpha \), которую мы построили ранее. Она содержит прямую \( a \) и прямую \( b \), перпендикулярную \( a \) в точке \( M \).

Если бы плоскость \( \beta \) была отлична от \( \alpha \), то она бы содержала прямую \( a \) и некоторую другую прямую \( c \), проходящую через \( M \) и перпендикулярную \( a \).

Однако, через точку \( M \) на прямой \( a \) можно провести только одну прямую, перпендикулярную \( a \). Это означает, что прямая \( c \) должна совпадать с прямой \( b \).

Следовательно, плоскость \( \beta \) должна содержать прямые \( a \) и \( b \), а значит, она совпадает с плоскостью \( \alpha \).

Таким образом, через данную точку прямой можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную этой прямой.

Что и требовалось доказать.