12. Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости α.

Доказательство:

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Точка А лежит в плоскости α.

Возьмем произвольную прямую \( m \), лежащую в плоскости \( \alpha \) и проходящую через точку \( A \).

Проведем через точку \( A \) прямую \( b \), перпендикулярную прямой \( m \) (такая прямая существует в плоскости \( \alpha \)).

Теперь проведем через прямые \( m \) и \( b \) плоскость \( \beta \). Так как \( b \) перпендикулярна \( m \), то плоскость \( \beta \) также перпендикулярна прямой \( m \).

Через точку \( A \) проведем прямую \( c \), перпендикулярную плоскости \( \beta \). Такая прямая существует и единственна.

Поскольку \( \beta \) перпендикулярна \( m \), а \( c \) перпендикулярна \( \beta \), то \( c \) параллельна \( m \). Но \( c \) проходит через \( A \) и \( m \) проходит через \( A \).

Это противоречие, если мы хотим провести прямую, перпендикулярную плоскости \( \alpha \).

Более корректное доказательство:

Возьмем произвольную прямую \( m \) в плоскости \( \alpha \).

Через точку \( A \) проведем прямую \( n \), перпендикулярную \( m \).

Теперь проведем через точку \( A \) и прямую \( n \) плоскость \( \gamma \). Плоскость \( \gamma \) будет перпендикулярна прямой \( m \).

Далее, проведем через точку \( A \) прямую \( k \), перпендикулярную плоскости \( \gamma \). Такая прямая существует и единственна.

Так как \( m \) лежит в \( \gamma \) и \( k \) перпендикулярна \( \gamma \), то \( k \) перпендикулярна \( m \).

Теперь проведем через точку \( A \) и прямую \( k \) плоскость \( \delta \). Эта плоскость \( \delta \) будет содержать прямую \( k \) и будет перпендикулярна прямой \( m \).

В плоскости \( \delta \) проведем через точку \( A \) прямую \( p \), перпендикулярную прямой \( m \). Поскольку \( m \) лежит в \( \alpha \), а \( p \) проходит через \( A \) и перпендикулярна \( m \), то \( p \) будет перпендикулярна плоскости \( \alpha \).

Случай 2: Точка А не лежит в плоскости α.

Проведем через точку \( A \) прямую \( b \), перпендикулярную плоскости \( \alpha \). Такая прямая существует и единственна (по аксиоме стереометрии).

Таким образом, через любую точку (лежащую в плоскости или вне её) можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Что и требовалось доказать.