10. Докажите, что трапеция, у которой углы при основании равны, является равнобедренной.

Пусть в трапеции ABCD основания AB и CD параллельны, а углы при основании AB равны: ∠DAB = ∠ABC.

Опустим перпендикуляры DH и CK из вершин D и C на прямую AB. Тогда DH и CK — высоты трапеции, поэтому DH = CK. Прямоугольные треугольники ADH и BCK равны по гипотенузе и острому углу: их острые углы при основании равны, а катеты DH и CK равны. Значит, AD = BC.

Боковые стороны трапеции равны, следовательно, она равнобедренная.