11. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, причём AB ∥ CD и диагонали равны: AC = BD.

Рассмотрим треугольники DAB и CBA. У них общая сторона AB, стороны BD и AC равны по условию, а углы ∠DAB и ∠CBA равны: это углы при основании AB. (Эквивалентно можно сопоставить треугольники по двум сторонам и углу между ними после стандартного расположения вершин.) Отсюда следует равенство боковых сторон трапеции: AD = BC.

Следовательно, трапеция равнобедренная.