10. Две стороны треугольника равны 4 и 6. Высота, опущенная на меньшую из них, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую из этих сторон.

Задание 10. Высота треугольника

Площадь треугольника можно вычислить разными способами, используя разные стороны в качестве основания и соответствующие им высоты. Формула площади:

• \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \), где \( a \) и \( b \) — стороны треугольника, а \( h_a \) и \( h_b \) — высоты, опущенные на эти стороны соответственно.

Дано:

• Сторона \( a = 4 \) (меньшая).
• Сторона \( b = 6 \) (большая).
• Высота, опущенная на меньшую сторону \( h_a = 3 \).

Найти: высоту, опущенную на большую сторону \( h_b \).

Решение:

1. Сначала найдем площадь треугольника, используя данные для меньшей стороны: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \]
2. Вычисляем площадь: \[ S = 2 \cdot 3 = 6 \]
3. Теперь используем ту же площадь и известную большую сторону \( b = 6 \) для нахождения высоты \( h_b \): \[ 6 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \]
4. Подставляем значение \( b \): \[ 6 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_b \]
5. Упрощаем: \[ 6 = 3 \cdot h_b \]
6. Находим \( h_b \), разделив обе части на 3: \[ h_b = \frac{6}{3} = 2 \]

Ответ: 2.