10) \(\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{4}{x-1} - 12 = 0\)

Решение:

Сделаем замену \( y = \frac{1}{x-1} \).

1. Запишем уравнение с заменой: \( y^2 + 4y - 12 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]
3. Найдём корни квадратного уравнения: \[ y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6 \]
4. Сделаем обратную замену: \( \frac{1}{x-1} = 2 \) или \( \frac{1}{x-1} = -6 \).
5. Из \( \frac{1}{x-1} = 2 \) следует \( 1 = 2(x-1) \), \( 1 = 2x - 2 \), \( 2x = 3 \), \( x = \frac{3}{2} \).
6. Из \( \frac{1}{x-1} = -6 \) следует \( 1 = -6(x-1) \), \( 1 = -6x + 6 \), \( 6x = 5 \), \( x = \frac{5}{6} \).

Ответ: \( x = \frac{3}{2}, x = \frac{5}{6} \).