11) \(\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3}{x-3} - 4 = 0\)

Решение:

Сделаем замену \( y = \frac{1}{x-3} \).

1. Запишем уравнение с заменой: \( y^2 - 3y - 4 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
3. Найдём корни квадратного уравнения: \[ y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]
4. Сделаем обратную замену: \( \frac{1}{x-3} = 4 \) или \( \frac{1}{x-3} = -1 \).
5. Из \( \frac{1}{x-3} = 4 \) следует \( 1 = 4(x-3) \), \( 1 = 4x - 12 \), \( 4x = 13 \), \( x = \frac{13}{4} \).
6. Из \( \frac{1}{x-3} = -1 \) следует \( 1 = -(x-3) \), \( 1 = -x + 3 \), \( x = 2 \).

Ответ: \( x = \frac{13}{4}, x = 2 \).