4) \(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - 6 = 0\)

Решение:

Сделаем замену \( y = \frac{1}{x} \).

1. Запишем уравнение с заменой: \( y^2 - y - 6 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
3. Найдём корни квадратного уравнения: \[ y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \] \[ y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]
4. Сделаем обратную замену: \( \frac{1}{x} = 3 \) или \( \frac{1}{x} = -2 \).
5. Из \( \frac{1}{x} = 3 \) следует \( x = \frac{1}{3} \).
6. Из \( \frac{1}{x} = -2 \) следует \( x = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{1}{3}, x = -\frac{1}{2} \).