Задание 5. Решите уравнение: 1) \(\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} - 12 = 0\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение. Приведём его к виду квадратного уравнения, сделав замену \( y = \frac{1}{x} \). Тогда \( x^2 \) будет \( \frac{1}{y^2} \), и \( \frac{1}{x^2} \) будет \( y^2 \).

1. Запишем уравнение с заменой: \( y^2 + 4y - 12 = 0 \).
2. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]
3. Найдём корни квадратного уравнения: \[ y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]
4. Сделаем обратную замену: \( \frac{1}{x} = 2 \) или \( \frac{1}{x} = -6 \).
5. Из \( \frac{1}{x} = 2 \) следует \( x = \frac{1}{2} \).
6. Из \( \frac{1}{x} = -6 \) следует \( x = -\frac{1}{6} \).

Ответ: \( x = \frac{1}{2}, x = -\frac{1}{6} \).