9) \(\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0\)

Решение:

Сделаем замену \( y = \frac{1}{x-2} \). Тогда \( \frac{1}{(x-2)^2} = y^2 \).

1. Запишем уравнение с заменой: \( y^2 - y - 6 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
3. Найдём корни квадратного уравнения: \[ y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \] \[ y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]
4. Сделаем обратную замену: \( \frac{1}{x-2} = 3 \) или \( \frac{1}{x-2} = -2 \).
5. Из \( \frac{1}{x-2} = 3 \) следует \( 1 = 3(x-2) \), \( 1 = 3x - 6 \), \( 3x = 7 \), \( x = \frac{7}{3} \).
6. Из \( \frac{1}{x-2} = -2 \) следует \( 1 = -2(x-2) \), \( 1 = -2x + 4 \), \( 2x = 3 \), \( x = \frac{3}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{7}{3}, x = \frac{3}{2} \).