12) \(\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0\)

Решение:

Сделаем замену \( y = \frac{1}{x-1} \).

1. Запишем уравнение с заменой: \( y^2 + 3y - 10 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]
3. Найдём корни квадратного уравнения: \[ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5 \]
4. Сделаем обратную замену: \( \frac{1}{x-1} = 2 \) или \( \frac{1}{x-1} = -5 \).
5. Из \( \frac{1}{x-1} = 2 \) следует \( 1 = 2(x-1) \), \( 1 = 2x - 2 \), \( 2x = 3 \), \( x = \frac{3}{2} \).
6. Из \( \frac{1}{x-1} = -5 \) следует \( 1 = -5(x-1) \), \( 1 = -5x + 5 \), \( 5x = 4 \), \( x = \frac{4}{5} \).

Ответ: \( x = \frac{3}{2}, x = \frac{4}{5} \).