10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Нам нужно найти расстояние от точки А до прямой ВС.

Сначала определим координаты точек:

A: (1, 1)

B: (3, 4)

C: (7, 2)

Найдем уравнение прямой ВС. Уравнение прямой, проходящей через две точки $$(x_1, y_1)$$ и $$(x_2, y_2)$$, задается формулой:

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

Подставим координаты точек B(3, 4) и C(7, 2):

$$\frac{y - 4}{2 - 4} = \frac{x - 3}{7 - 3}$$

$$\frac{y - 4}{-2} = \frac{x - 3}{4}$$

Умножим обе стороны на 4:

$$4(y - 4) = -2(x - 3)$$

$$4y - 16 = -2x + 6$$

$$2x + 4y - 16 - 6 = 0$$

$$2x + 4y - 22 = 0$$

Разделим на 2:

$$x + 2y - 11 = 0$$.

Теперь найдем расстояние от точки A(1, 1) до прямой $$x + 2y - 11 = 0$$.

Формула расстояния от точки $$(x_0, y_0)$$ до прямой $$Ax + By + C = 0$$:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

В нашем случае: $$x_0 = 1$$, $$y_0 = 1$$, $$A = 1$$, $$B = 2$$, $$C = -11$$.

$$d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 11|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}$$

$$d = \frac{|1 + 2 - 11|}{\sqrt{1 + 4}}$$

$$d = \frac{|-8|}{\sqrt{5}}$$

$$d = \frac{8}{\sqrt{5}}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{5}$$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$$d = \frac{8\sqrt{5}}{5}$$.

Ответ: $$\frac{8\sqrt{5}}{5}$$