10. На координатной плоскости изображены векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$. Найдите косинус угла между ними.

Из графика видно, что вектор $$\vec{a}$$ начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (1,2). Значит, $$\vec{a} = (1; 2)$$.

Вектор $$\vec{b}$$ начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (3,1). Значит, $$\vec{b} = (3; 1)$$.

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами используется формула:

$$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $$

Найдем скалярное произведение векторов $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1) \cdot (3) + (2) \cdot (1) = 3 + 2 = 5$$.

Найдем длины векторов:

$$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

$$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

Подставим значения в формулу косинуса:

$$ \cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$