10. На рисунке изображена трапеция EFMN, EF ∥ NM; отмечено, что EN = FM, EN ⟂ EM, а угол между диагоналями равен 120°. Найдите углы трапеции.

Обозначим точку пересечения диагоналей через O. Отмеченный угол ∠NOM = 120°, поэтому смежный с ним угол между лучами OE и OF равен ∠EOF = 60°.

В равнобедренной трапеции EN = FM углы при каждом основании равны. Обозначим острые углы при основании NM через α. Из EN ⟂ EM следует, что в треугольнике NEM угол при E прямой. Угол при N этого треугольника равен углу трапеции N, то есть α, поэтому угол при M между MN и ME равен 90° − α.

Рассмотрим треугольник EOM. Его углы при E и M равны соответственно 90° − α и 90° − α: первый следует из EN ⟂ EM и угла между EN и диагональю EF, второй — из параллельности EF и NM и равенства углов трапеции при основании. Тогда ∠EOM = 180° − 2(90° − α) = 2α. По рисунку ∠EOM смежен с углом 120°, поэтому ∠EOM = 60°. Следовательно, 2α = 60° и α = 30°.

Смежные углы трапеции при боковых сторонах дополняют друг друга до 180°, поэтому остальные два угла равны 150°.

Ответ: ∠N = ∠M = 30°, ∠E = ∠F = 150°.