5. На рисунке изображена трапеция KLMN, KL ∥ NM; отмечено, что NK = KL = LM, а ∠LNM = 30°. Найдите углы трапеции.

Так как KL ∥ NM, при диагонали NL накрест лежащие углы равны: ∠KLN = ∠LNM = 30°.

В треугольнике KNL стороны NK и KL равны, поэтому углы при основании NL равны: ∠KNL = ∠KLN = 30°. Тогда ∠NKL = 180° − 30° − 30° = 120°.

Углы K и N — односторонние при боковой стороне NK, поэтому ∠N = 180° − 120° = 60°.

Учитывая ∠LNM = 30°, получаем ∠KNM = ∠KNL + ∠LNM = 30° + 30° = 60°.

В треугольнике NLM стороны LM и LN равны, поэтому углы при основании NM равны. Следовательно, ∠LNM = ∠NML = 30°, а ∠NLM = 120°. Угол трапеции при L состоит из ∠KLN и ∠NLM: ∠L = 30° + 120° = 150°.

Ответ: ∠K = 120°, ∠L = 150°, ∠M = 30°, ∠N = 60°.