10. Найдите координаты точки, равноудалённой от точек A(1; 1), B(4; 2) и C(2; 5).

Пусть искомая точка имеет координаты \((x;y)\). Приравняем квадраты расстояний от неё до A и B:

\((x-1)^2+(y-1)^2=(x-4)^2+(y-2)^2\), откуда \(3x+y=9\).

Приравняем расстояния до A и C:

\((x-1)^2+(y-1)^2=(x-2)^2+(y-5)^2\), откуда \(2x+8y=27\).

Решаем систему: из первого уравнения \(y=9-3x\). Подстановка во второе даёт \(x=\frac{45}{22}\), затем \(y=\frac{63}{22}\).

Ответ: \(\left(\frac{45}{22};\frac{63}{22}\right)\).