10. Найдите величину двугранного угла при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 2√5 и боковым ребром, равным 5.

Решение:

Пусть пирамида — ABCDS, где ABCD — основание, O — центр основания, S — вершина. Боковое ребро SA = 5, сторона основания AB = 2√5.

1. Рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности основания.
2. Диагональ основания AC = \( AB \sqrt{2} = 2\sqrt{5} \sqrt{2} = 2\sqrt{10} \).
3. Радиус описанной окружности основания R = OA = \( \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10} \).
4. Найдем высоту пирамиды SO по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOA: \( SO^2 = SA^2 - OA^2 = 5^2 - (\sqrt{10})^2 = 25 - 10 = 15 \). \( SO = \sqrt{15} \).
5. Двугранный угол при боковом ребре — это угол между двумя плоскостями граней, содержащими это ребро. Рассмотрим грань SAB. Угол между плоскостью основания и плоскостью грани SAB.
6. Проведем апофему SK в грани SAB. Точка K — середина AB. SK — высота грани SAB. \( AK = KB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} 2\sqrt{5} = \sqrt{5} \).
7. В прямоугольном треугольнике SKA: \( SK^2 = SA^2 - AK^2 = 5^2 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20 \). \( SK = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).
8. Рассмотрим треугольник SOK. Это прямоугольный треугольник, где SO — высота пирамиды, OK — радиус вписанной окружности основания (половина стороны основания), SK — апофема. \( OK = \frac{1}{2} AB = \sqrt{5} \).
9. Угол ∠SKO — это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SAB. Этот угол является искомым двугранным углом.
10. В треугольнике SOK: \( \cos(\angle SKO) = \frac{OK}{SK} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \).
11. Следовательно, \( \angle SKO = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°.