7. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 4 см, а угол между ними 60°. Площадь боковой поверхности этого параллелепипеда равна 15√3 см². Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

1. Найдем площадь основания параллелепипеда. Площадь ромба (или параллелограмма) вычисляется по формуле \( S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin \alpha \), где \( a \) и \( b \) — стороны, \( \alpha \) — угол между ними.
2. \( S_{осн} = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot \sin 60^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}^2 \).
3. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания: \( P = 2(a+b) = 2(3+4) = 2 · 7 = 14 \) см.
4. Высоту параллелепипеда \( h \) найдём из формулы площади боковой поверхности: \( S_{бок} = P \cdot h \).
5. \( 15\sqrt{3} = 14 \cdot h \)
6. \( h = \frac{15\sqrt{3}}{14} \) см.
7. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \).
8. \( V = 6\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{14} \text{ см} = \frac{90 \cdot 3}{14} = \frac{270}{14} = \frac{135}{7} \text{ см}^3 \).

Ответ: \( \frac{135}{7} \text{ см}^3 \).