10. Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств \(\begin{cases}\frac{x-1}{2}-\frac{2x+3}{3}+\frac{x}{6}<2-\frac{x+5}{2},\\[2pt]1-\frac{x+5}{8}+\frac{4-x}{2}<3x-\frac{x+1}{4}.\end{cases}\)

Первое неравенство: приведём дроби к общему знаменателю 6. Левая часть равна \(\frac{3(x-1)-2(2x+3)+x}{6}=-\frac32\), правая — \(-\frac{x+1}{2}\). Тогда \(-\frac32< -\frac{x+1}{2}\), откуда \(x<2\).

Второе неравенство: левая часть равна \(\frac{19-5x}{8}\), правая — \(\frac{11x-1}{4}\). Умножаем на 8: \(19-5x<22x-2\), откуда \(x>\frac79\).

Следовательно, система задаёт промежуток \(\left(\frac79;2\right)\). Единственное целое число в нём — 1.

Ответ: \(1\).