10. Найдите высоту Н правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно ребру основания, если объем пирамиды равен V. В ответе запишите значение √3Н³.

Решение:

Пусть \( a \) — длина ребра основания правильной треугольной пирамиды, \( H \) — высота пирамиды. По условию, боковое ребро равно ребру основания, то есть \( l = a \).

Объём правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} H \]

Площадь основания правильного треугольника со стороной \( a \):

\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Таким образом, объём:

\[ V = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 H = \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 H \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), радиусом вписанной окружности в основание \( r_{осн} \) и апофемой боковой грани \( h_a \), или высотой боковой грани. Здесь нам понадобится связь между боковым ребром, высотой и радиусом описанной окружности основания \( R_{осн} \).

Высота пирамиды \( H \), радиус описанной окружности основания \( R_{осн} \) и боковое ребро \( l \) связаны соотношением:

\[ l^2 = H^2 + R_{осн}^2 \]

Для правильного треугольника радиус описанной окружности \( R_{осн} \) равен \( \frac{2}{3} \) высоты основания \( h_{осн} \).

Высота основания правильного треугольника \( h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \).

\[ R_{осн} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{3} a = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Подставим \( l = a \) и \( R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} \) в соотношение:

\[ a^2 = H^2 + \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 \]

\[ a^2 = H^2 + \frac{a^2}{3} \]

\[ H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} \]

\[ H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a \sqrt{\frac{2}{3}} \]

Теперь выразим \( a \) через \( H \):

\[ a = H \sqrt{\frac{3}{2}} = H \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = H \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Подставим \( a^2 \) в формулу объёма:

\[ a^2 = H^2 \frac{6}{4} = \frac{3}{2} H^2 \]

\[ V = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{3}{2} H^2 \cdot H = \frac{3\sqrt{3}}{24} H^3 = \frac{\sqrt{3}}{8} H^3 \]

Из этой формулы выразим \( H^3 \) через \( V \):

\[ H^3 = \frac{8V}{\sqrt{3}} \]

Теперь найдём \( \sqrt{3} H^3 \):

\[ \sqrt{3} H^3 = \sqrt{3} \cdot \frac{8V}{\sqrt{3}} = 8V \]

Ответ: 8V.