10. Найдите высоту Н правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно ребру основания, если объем пирамиды равен V. В ответе запишите значение √3Н³.

Решение:

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \( a \), а боковое ребро равно \( b \). По условию, \( b = a \).

Объем правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота.

Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) равна \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

Высота \( H \) пирамиды, радиус описанной около основания окружности \( R_{осн} \) и боковое ребро \( b \) связаны соотношением \( b^2 = H^2 + R_{осн}^2 \).

Для правильного треугольника радиус описанной окружности \( R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Подставляем \( R_{осн} \) в уравнение:

\[ b^2 = H^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 \]

Так как \( b = a \), получаем:

\[ a^2 = H^2 + \frac{a^2}{3} \]

\[ H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} \]

\[ H = a \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3} \]

Выразим \( a \) через \( H \): \( a = \frac{3H}{\sqrt{6}} = \frac{3H\sqrt{6}}{6} = \frac{H\sqrt{6}}{2} \).

Теперь подставим \( S_{осн} \) и \( H \) в формулу объема:

\[ V = \frac{1}{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right) H \]

Подставим \( a^2 = \frac{3H^2}{2} \):

\[ V = \frac{1}{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3H^2}{2}\right) H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3} H^2}{8} \cdot H = \frac{\sqrt{3} H^3}{8} \]

Теперь выразим \( H^3 \) через \( V \):

\[ H^3 = \frac{8V}{\sqrt{3}} \]

Нас просят найти \( \sqrt{3}H^3 \). Умножим обе части на \( \sqrt{3} \):

\[ \sqrt{3} H^3 = \sqrt{3} \cdot \frac{8V}{\sqrt{3}} = 8V \]

Ответ: 8V.