9. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения 50^{3-sin 5x} = 6 250 000.

Решение:

Перепишем уравнение, представив правую часть как степень числа 50:

\[ 6250000 = 625 × 10000 = 25^2 × 100^2 = (25 × 100)^2 = 2500^2 \]

Это не помогает. Попробуем представить 6 250 000 как степень 50:

\[ 50^1 = 50 \]

\[ 50^2 = 2500 \]

\[ 50^3 = 125000 \]

\[ 50^4 = 6250000 \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 50^{3 - \sin 5x} = 50^4 \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ 3 - \sin 5x = 4 \]

\[ -\sin 5x = 4 - 3 \]

\[ -\sin 5x = 1 \]

\[ \sin 5x = -1 \]

Общее решение уравнения \( \sin θ = -1 \) имеет вид \( \theta = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

В нашем случае \( \theta = 5x \), поэтому:

\[ 5x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \]

Разделим обе части на 5:

\[ x = \frac{3\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} \]

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень в градусах. Переведём \( \pi \) в градусы: \( \pi \) радиан = 180 градусов.

\[ x = \frac{3 × 180}{10} + \frac{2 × 180 \cdot n}{5} \]

\[ x = 3 × 18 + 2 × 36 × n \]

\[ x = 54 + 72n \]

Чтобы найти наибольший отрицательный корень, подставим целые значения \( n \) и выберем подходящее:

• При \( n = 0 \): \( x = 54 \) (положительный).
• При \( n = -1 \): \( x = 54 + 72(-1) = 54 - 72 = -18 \) (отрицательный).
• При \( n = -2 \): \( x = 54 + 72(-2) = 54 - 144 = -90 \) (отрицательный, но меньше -18).

Наибольший отрицательный корень равен -18 градусам.

Ответ: -18°.