8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = 5 + 4x³ - x⁴ на отрезке [-1;4].

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = (5 + 4x^3 - x^4)' = 12x^2 - 4x^3 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 12x^2 - 4x^3 = 0 \]

\[ 4x^2 (3 - x) = 0 \]

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

Вычислим значения функции в критических точках, а также на концах отрезка [-1; 4]:

• При \( x = -1 \): \( f(-1) = 5 + 4(-1)^3 - (-1)^4 = 5 - 4 - 1 = 0 \).
• При \( x = 0 \): \( f(0) = 5 + 4(0)^3 - (0)^4 = 5 \).
• При \( x = 3 \): \( f(3) = 5 + 4(3)^3 - (3)^4 = 5 + 4(27) - 81 = 5 + 108 - 81 = 32 \).
• При \( x = 4 \): \( f(4) = 5 + 4(4)^3 - (4)^4 = 5 + 4(64) - 256 = 5 + 256 - 256 = 5 \).

Сравнивая полученные значения (0, 5, 32, 5), находим наименьшее и наибольшее:

Наименьшее значение функции — 0.

Наибольшее значение функции — 32.

Ответ: Наименьшее значение — 0, наибольшее значение — 32.