8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = 5 + 4x³ - x⁴ на отрезке [-1;4].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (5 + 4x^3 - x^4)' = 12x^2 - 4x^3 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 12x^2 - 4x^3 = 0 \).
3. Вынесем общий множитель \( 4x^2 \): \( 4x^2(3 - x) = 0 \).
4. Критические точки: \( 4x^2 = 0 \) ⇒ \( x = 0 \); \( 3 - x = 0 \) ⇒ \( x = 3 \).
5. Обе критические точки \( x=0 \) и \( x=3 \) принадлежат отрезку [-1; 4].
6. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
   • При \( x = -1 \): \( f(-1) = 5 + 4(-1)^3 - (-1)^4 = 5 - 4 - 1 = 0 \).
   • При \( x = 0 \): \( f(0) = 5 + 4(0)^3 - (0)^4 = 5 \).
   • При \( x = 3 \): \( f(3) = 5 + 4(3)^3 - (3)^4 = 5 + 4(27) - 81 = 5 + 108 - 81 = 32 \).
   • При \( x = 4 \): \( f(4) = 5 + 4(4)^3 - (4)^4 = 5 + 4(64) - 256 = 5 + 256 - 256 = 5 \).
7. Сравним полученные значения: 0, 5, 32, 5.

Наименьшее значение функции равно 0, наибольшее — 32.

Ответ: Наименьшее значение 0, наибольшее значение 32.