6. Площадь сечения шара плоскостью равна 16π см². Найдите расстояние от секущей плоскости до центра шара, если радиус шара равен 5 см.

Решение:

Площадь сечения шара плоскостью — это площадь круга. Пусть \( S \) — площадь сечения, \( R \) — радиус шара, \( r \) — радиус сечения, \( d \) — расстояние от секущей плоскости до центра шара.

Дано: \( S = 16\pi \) см², \( R = 5 \) см.

Найти: \( d \).

Формула площади круга: \( S = \pi r^2 \).

Подставим данное значение площади:

\[ 16\pi = \pi r^2 \]

\[ r^2 = 16 \]

\[ r = 4 \) см (радиус не может быть отрицательным).

Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до секущей плоскости: \( R^2 = r^2 + d^2 \).

\[ 5^2 = 4^2 + d^2 \]

\[ 25 = 16 + d^2 \]

\[ d^2 = 25 - 16 \]

\[ d^2 = 9 \]

\[ d = 3 \) см (расстояние не может быть отрицательным).

Ответ: 3 см.