7. Решите неравенство 16^x - 15 · 4^x - 16 ≤ 0.

Решение:

Преобразуем неравенство, используя, что \( 16^x = (4^2)^x = (4^x)^2 \).

Пусть \( y = 4^x \). Тогда неравенство примет вид:

\[ y^2 - 15y - 16 \le 0 \]

Найдем корни квадратного трёхчлена \( y^2 - 15y - 16 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \]

Корни: \( y_1 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 \).

Квадратный трёхчлен \( y^2 - 15y - 16 \) неотрицателен между корнями:

\[ -1 \le y \le 16 \]

Подставим обратно \( y = 4^x \):

\[ -1 \le 4^x \le 16 \]

Так как \( 4^x \) всегда больше нуля, первое неравенство \( -1 \le 4^x \) выполняется для всех \( x \).

Рассмотрим второе неравенство: \( 4^x \le 16 \). Поскольку \( 16 = 4^2 \), имеем:

\[ 4^x \le 4^2 \]

Так как основание степени \( 4 > 1 \), показатель степени \( x \) должен быть меньше или равен показателю степени у числа \( 16 \):

\[ x \le 2 \]

Ответ: x ≤ 2.