10. Найти углы трапеции EFNM. Основания EF и NM параллельны, боковые стороны EN и FM равны; EN ⟂ EM. Диагонали EM и FN пересекаются, угол между их нижними лучами равен 120°.

Обозначим через β острый угол, который диагональ EM образует с основанием NM. Поскольку трапеция равнобедренная, диагонали симметричны, и угол между их нижними лучами равен 180° − 2β. Поэтому 180° − 2β = 120°, откуда β = 30°.

Пусть основания симметрично расположены относительно вертикальной оси: верхние вершины имеют координаты E(−a, h), F(a, h), а нижние — N(−b, 0), M(b, 0), где a > b. Тогда тангенс угла диагонали с основанием равен h/(a + b) = tan 30° = 1/√3.

Условие EN ⟂ EM даёт равенство скалярного произведения векторов EN и EM нулю, то есть h² = (a − b)(a + b). Вместе с h²/(a + b)² = 1/3 получаем a − b = (a + b)/3. Следовательно, тангенс нижнего угла при N равен h/(a − b) = √3, значит, ∠N = 60°. В равнобедренной трапеции ∠M = ∠N, а верхние углы supplementary нижним.

Ответ: ∠E = ∠F = 120°, ∠N = ∠M = 60°.