9. Образующая конуса 6 см и наклонена к основанию под углом 30°. Найдите объем конуса.

Решение:

Дано:

• Образующая \( l = 6 \) см
• Угол наклона к основанию \( \alpha = 30^{\circ} \)

Найти:

• Объем конуса \( V \)

Решение:

1. Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 h \), где \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.
2. Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник, где образующая — боковая сторона, а высота конуса и радиус основания — катеты прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей.
3. В этом прямоугольном треугольнике образующая \( l \) является гипотенузой, угол наклона к основанию \( \alpha \) — угол между гипотенузой и катетом \( R \).
4. Найдем высоту \( h \) и радиус \( R \):

• \( R = l \cos \alpha = 6 \cos 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см
• \( h = l \sin \alpha = 6 \sin 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см

5. Подставим найденные значения в формулу объема:

\[ V = \frac{1}{3}\pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 \]\[ V = \frac{1}{3}\pi (9 \cdot 3) \cdot 3 \]\[ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 27 \cdot 3 \]\[ V = \pi \cdot 27 \]\[ V = 27\(\pi\) \) см³

Ответ: \( 27\pi \) см³.