7. Решите уравнение 2cos²x + 3 sinx - 3 = 0

Решение:

1. Заменим \( \cos^2 x \) через \( 1 - \sin^2 x \) по основному тригонометрическому тождеству.

\[ 2(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x - 3 = 0 \]\[ 2 - 2\sin^2 x + 3 \sin x - 3 = 0 \]\[ -2\sin^2 x + 3 \sin x - 1 = 0 \]\[ 2\sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0 \]

2. Сделаем замену \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение относительно \( t \):

\[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]\[ t_1 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \]\[ t_2 = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

4. Вернемся к замене \( t = \sin x \):

• \( \sin x = 1 \)
• \( \sin x = 0.5 \)

5. Найдем значения \( x \) из каждого уравнения:

• \( \sin x = 1 \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
• \( \sin x = 0.5 \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( n, m \) — целые числа.

Ответ: x = \( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), x = \( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), x = \( \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( k, n, m \) — целые числа.