10. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. y = { 6x - x², если x ≥ -1, -x - 8, если x < -1 }

Решение:

Функция задана кусочно. Построим график каждой части.

Часть 1: y = 6x - x² при x ≥ -1

Это парабола ветвями вниз. Найдем вершину параболы: x_верш = -b / 2a = -6 / (2 * -1) = -6 / -2 = 3.

Найдем значение y в вершине: y_верш = 6 * 3 - 3² = 18 - 9 = 9.

Найдем значение y на границе интервала (при x = -1): y = 6 * (-1) - (-1)² = -6 - 1 = -7.

Таким образом, для этой части графика у нас есть точки (-1; -7), (3; 9).

Часть 2: y = -x - 8 при x < -1

Это прямая. Найдем значение y на границе интервала (при x = -1): y = -(-1) - 8 = 1 - 8 = -7.

Эта часть графика — луч, начинающийся в точке (-1; -7) и идущий вниз влево.

Построение графика:

График состоит из параболы, ветви которой начинаются в точке (-1; -7) и идут вверх до вершины (3; 9), а затем вниз. Также есть луч, начинающийся в точке (-1; -7) и идущий влево и вниз.

Определение значений m:

Прямая y = m — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела ровно две общие точки с построенным графиком, она должна пересекать:

• Параболическую часть графика дважды. Это происходит, когда значение y находится между значением в точке (-1; -7) и вершиной (3; 9). То есть, -7 < m < 9.
• Параболическую часть графика один раз и лучевую часть графика один раз. Это происходит, когда m = -7. В этом случае одна точка пересечения на параболе (x = -1) и одна точка пересечения на луче (x = -1), но эти точки совпадают, поэтому это одна точка.
• Только лучевую часть графика один раз. Это происходит, когда m < -7.

Нам нужно ровно ДВЕ общие точки.

Рассмотрим различные значения m:

• Если m > 9, прямая не пересекает график (0 точек).
• Если m = 9, прямая касается вершины параболы (1 точка).
• Если -7 < m < 9, прямая пересекает параболическую часть дважды (2 точки).
• Если m = -7, прямая проходит через точку (-1; -7), которая является началом обеих частей графика. Это одна точка пересечения.
• Если m < -7, прямая пересекает лучевую часть графика один раз (1 точка).

Следовательно, ровно две общие точки возникают, когда прямая y = m находится между значением в точке (-1, -7) и значением в вершине параболы (3, 9).

Таким образом, -7 < m < 9.

Ответ: -7 < m < 9