9. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

Пусть \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч), а \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (км/ч).

По условию задачи:

• \( v_1 = v_2 + 20 \)
• Расстояние \( S = 240 \) км.
• Время первого автомобиля \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{240}{v_1} \).
• Время второго автомобиля \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{240}{v_2} \).
• \( t_2 - t_1 = 1 \) час.

1. Подставим выражения для времени: \( \frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1 \).
2. Заменим \( v_2 \) через \( v_1 \). Из \( v_1 = v_2 + 20 \) следует \( v_2 = v_1 - 20 \).
3. Подставим в уравнение: \( \frac{240}{v_1 - 20} - \frac{240}{v_1} = 1 \).
4. Приведем дроби к общему знаменателю \( v_1(v_1 - 20) \): \( \frac{240 v_1 - 240 (v_1 - 20)}{v_1(v_1 - 20)} = 1 \).
5. Раскроем скобки в числителе: \( 240 v_1 - 240 v_1 + 4800 = v_1(v_1 - 20) \).
6. Упростим: \( 4800 = v_1^2 - 20 v_1 \).
7. Получим квадратное уравнение: \( v_1^2 - 20 v_1 - 4800 = 0 \).
8. Найдем дискриминант: \( D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600 \).
9. Найдем \( \sqrt{D} \): \( \sqrt{19600} = 140 \).
10. Найдем скорость первого автомобиля \( v_1 \):
• \( v_1 = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80 \) км/ч.
• \( v_1 = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \) км/ч. Этот корень не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной.
11. Проверим:
• Скорость первого автомобиля \( v_1 = 80 \) км/ч.
• Скорость второго автомобиля \( v_2 = 80 - 20 = 60 \) км/ч.
• Время первого автомобиля \( t_1 = \frac{240}{80} = 3 \) часа.
• Время второго автомобиля \( t_2 = \frac{240}{60} = 4 \) часа.
• Разница во времени \( t_2 - t_1 = 4 - 3 = 1 \) час. Условие выполнено.

Ответ: 80 км/ч.