8. Решите систему уравнений { 3x² – 2x = y; 3x – 2 = y. }

Решение:

Система уравнений:

\( \begin{cases} 3x^2 - 2x = y \\ 3x - 2 = y \end{cases} \)

1. Приравняем правые части уравнений, так как обе равны \( y \): \( 3x^2 - 2x = 3x - 2 \).
2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 3x^2 - 2x - 3x + 2 = 0 \).
3. Упростим: \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \).
4. Найдем дискриминант квадратного уравнения \( D = b^2 - 4ac \): \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \).
5. Найдем корни уравнения:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \).
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
6. Найдем соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) во второе уравнение системы \( y = 3x - 2 \):
• При \( x_1 = 1 \): \( y_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1 \).
• При \( x_2 = \frac{2}{3} \): \( y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0 \).

Ответ: (1; 1), (2/3; 0).