10. Постройте график функции $$y = x^2 + 2x - 8$$. Пользуясь графиком, укажите: а) при каких значениях х значения функции положительны; б) промежуток убывания функции. в) сколько точек пересечения при $$y=3$$?

Решение:

Построение графика функции $$y = x^2 + 2x - 8$$

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $$x^2$$ равен 1, т.е. положителен).

1. Найдем вершину параболы:
   • Координата x вершины: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 ullet 1} = -1$$.
   • Координата y вершины: $$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$.
   • Вершина параболы находится в точке (-1, -9).
2. Найдем точки пересечения с осью x (нули функции): Решим уравнение $$x^2 + 2x - 8 = 0$$.
3. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 ullet 1 ullet (-8) = 4 + 32 = 36$$.
4. $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$$.
5. $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$.
6. Нули функции: x = -4 и x = 2.
7. Найдем точку пересечения с осью y: При $$x = 0$$, $$y = 0^2 + 2 ullet 0 - 8 = -8$$. Точка (0, -8).
8. Построение графика: Нанесем на координатную плоскость вершину (-1, -9), нули (-4, 0) и (2, 0), точку пересечения с осью y (0, -8) и построим параболу.

Анализ графика:

5. а) Значения функции положительны ($$y > 0$$): Функция положительна там, где график находится выше оси x. Это происходит при $$x < -4$$ и $$x > 2$$.
6. б) Промежуток убывания функции: Парабола убывает слева от вершины. Вершина находится при $$x = -1$$. Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-\infty; -1]$$.
7. в) Сколько точек пересечения при $$y = 3$$? Это означает, что мы ищем количество решений уравнения $$x^2 + 2x - 8 = 3$$, или $$x^2 + 2x - 11 = 0$$.
8. Дискриминант $$D = 2^2 - 4 ullet 1 ullet (-11) = 4 + 44 = 48$$.
9. Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что горизонтальная линия $$y = 3$$ пересечет параболу в двух точках.

Ответ: а) $$x < -4$$ или $$x > 2$$. б) $$(-\infty; -1]$$. в) 2 точки пересечения.