11. Баржа прошла 60 км по течению реки и столько же против течения, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Обозначим собственную скорость баржи как $$v$$ км/ч.

Скорость баржи по течению: $$v + 2$$ км/ч.

Скорость баржи против течения: $$v - 2$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: $$t_{по} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость по течению}} = \frac{60}{v+2}$$ часов.

Время, затраченное на путь против течения: $$t_{против} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость против течения}} = \frac{60}{v-2}$$ часов.

Общее время в пути равно 9 часов: $$t_{по} + t_{против} = 9$$.

1. Составим уравнение: $$\frac{60}{v+2} + \frac{60}{v-2} = 9$$.
2. Приведем дроби к общему знаменателю $$(v+2)(v-2)$$: $$\frac{60(v-2) + 60(v+2)}{(v+2)(v-2)} = 9$$.
3. Раскроем скобки в числителе: $$60v - 120 + 60v + 120 = 120v$$.
4. Знаменатель $$(v+2)(v-2)$$ равен $$v^2 - 4$$.
5. Уравнение примет вид: $$\frac{120v}{v^2 - 4} = 9$$.
6. Умножим обе части на $$v^2 - 4$$ (при условии $$v eq 2$$ и $$v eq -2$$): $$120v = 9(v^2 - 4)$$.
7. $$120v = 9v^2 - 36$$.
8. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$9v^2 - 120v - 36 = 0$$.
9. Разделим все члены на 3 для упрощения: $$3v^2 - 40v - 12 = 0$$.
10. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$.
11. $$D = (-40)^2 - 4 ullet 3 ullet (-12) = 1600 + 144 = 1744$$.
12. $$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$.
13. $$v = \frac{40 \pm \sqrt{1744}}{2 ullet 3}$$.
14. $$v = \frac{40 \pm \sqrt{16 ullet 109}}{6}$$.
15. $$v = \frac{40 \pm 4\sqrt{109}}{6}$$.
16. $$v = \frac{20 \pm 2\sqrt{109}}{3}$$.
17. Два возможных значения для $$v$$: $$v_1 = \frac{20 + 2\sqrt{109}}{3}$$ и $$v_2 = \frac{20 - 2\sqrt{109}}{3}$$.
18. Поскольку скорость баржи должна быть положительной, и также $$v > 2$$ (чтобы движение против течения было возможным), проверим оба корня. $$\sqrt{109}$$ примерно равно 10.44.
19. $$v_1 \approx \frac{20 + 2 ullet 10.44}{3} = \frac{20 + 20.88}{3} = \frac{40.88}{3} \approx 13.63$$ км/ч. Это значение больше 2.
20. $$v_2 \approx \frac{20 - 2 ullet 10.44}{3} = \frac{20 - 20.88}{3} = \frac{-0.88}{3} \approx -0.29$$ км/ч. Это значение отрицательное, поэтому оно не подходит.

Ответ: $$\frac{20 + 2\sqrt{109}}{3}$$ км/ч (приблизительно 13.63 км/ч)