10. Представьте в виде дроби выражение \(-\frac{1}{(a-1)a}+\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}\).

Используем разложение \(\frac{1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\):

\(-\frac{1}{(a-1)a}=-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a}\), а остальные слагаемые равны соответственно \(\frac1a-\frac1{a+1}\), \(\frac1{a+1}-\frac1{a+2}\), \(\frac1{a+2}-\frac1{a+3}\).

После сокращения промежуточных слагаемых получаем \(-\frac{1}{a-1}+\frac{2}{a}-\frac{1}{a+3}\). Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{-(a)(a+3)+2(a-1)(a+3)-(a-1)a}{a(a-1)(a+3)}=\frac{-6}{a(a-1)(a+3)}\).

Ответ: \(-\frac{6}{a(a-1)(a+3)}\), при \(a\ne-3,0,1,-2,-1\).