10. Прямоугольная трапеция с основаниями 10 см и 19 см и высотой 12 см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение:

1. Тело вращения, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг большего основания, состоит из цилиндра и конуса.
2. Большее основание трапеции равно 19 см, меньшее — 10 см, высота — 12 см.
3. При вращении вокруг большего основания (19 см):
• Высота цилиндра \( H_{цил} \) равна меньшему основанию трапеции, то есть \( H_{цил} = 10 \) см.
• Радиус цилиндра \( R_{цил} \) равен высоте трапеции, то есть \( R_{цил} = 12 \) см.
• Конус образуется вращением боковой стороны, которая является высотой трапеции. Радиус основания конуса \( R_{конус} \) равен высоте трапеции, то есть \( R_{конус} = 12 \) см.
• Образующая конуса \( L_{конус} \) равна боковой стороне трапеции. Её можно найти по теореме Пифагора: \( L_{конус} = \sqrt{H_{цил}^2 + R_{цил}^2} = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61} \) см. (Это если вращается прямоугольная трапеция, где одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а другая — наклонная).
• Однако, в задаче сказано "прямоугольная трапеция с основаниями 10 см и 19 см и высотой 12 см". Это означает, что одна из боковых сторон (высота) перпендикулярна основаниям. При вращении вокруг большего основания, это большее основание будет либо \( 19 \) см, либо \( 10 \) см. Если вращать вокруг большего основания \( 19 \) см, то высота цилиндра будет \( 19-10 = 9 \) см, а радиус \( 12 \) см. Боковая сторона, которая является высотой, даст цилиндр, а другая, наклонная, даст конус.
• Давайте переосмыслим условие: "прямоугольная трапеция с основаниями 10 см и 19 см и высотой 12 см". Это значит, что одна боковая сторона перпендикулярна основаниям (это и есть высота), а другая — наклонная.
• Если вращаем вокруг большего основания (19 см), то:
• Высота цилиндра \( H_{цил} \) = разность оснований = \( 19 - 10 = 9 \) см.
• Радиус цилиндра \( R_{цил} \) = высота трапеции = \( 12 \) см.
• Радиус конуса \( R_{конус} \) = высота трапеции = \( 12 \) см.
• Найдем образующую конуса \( L_{конус} \) как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 9 см (разность оснований) и 12 см (высота):

\( L_{конус} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \) см.

• Площадь поверхности тела вращения состоит из площади боковой поверхности цилиндра и площади боковой поверхности конуса.
• Площадь боковой поверхности цилиндра \( S_{цил} = 2\pi R_{цил} H_{цил} = 2\pi \cdot 12 \cdot 9 = 216\pi \) см².
• Площадь боковой поверхности конуса \( S_{конус} = \pi R_{конус} L_{конус} = \pi \cdot 12 \cdot 15 = 180\pi \) см².
• Общая площадь поверхности тела вращения:

\( S_{total} = S_{цил} + S_{конус} = 216\pi + 180\pi = 396\pi \) см².

Ответ: \( 396\pi \) см².