6. Найдите область определения функции y = \(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{5}{7}}\right)^{2x-4} - \frac{7}{5}}\)

Решение:

1. Область определения функции определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\( \left(\sqrt{\frac{5}{7}}\right)^{2x-4} - \frac{7}{5} \geq 0 \)

2. Перенесём \( \frac{7}{5} \) в правую часть:

\( \left(\sqrt{\frac{5}{7}}\right)^{2x-4} \geq \frac{7}{5} \)

3. Заметим, что \( \sqrt{\frac{5}{7}} = \left(\frac{5}{7}\right)^{\frac{1}{2}} \). Также \( \frac{7}{5} = \left(\frac{5}{7}\right)^{-1} \). Подставим это в неравенство:

\( \left( \left(\frac{5}{7}\right)^{\frac{1}{2}} \right)^{2x-4} \geq \left(\frac{5}{7}\right)^{-1} \)

\( \left(\frac{5}{7}\right)^{\frac{1}{2}(2x-4)} \geq \left(\frac{5}{7}\right)^{-1} \)

\( \left(\frac{5}{7}\right)^{x-2} \geq \left(\frac{5}{7}\right)^{-1} \)

4. Так как основание степени \( \frac{5}{7} \) меньше 1, при переходе к показателям степени знак неравенства меняется на противоположный:

\( x-2 \leq -1 \)

5. Решим полученное линейное неравенство:

\( x \leq -1 + 2 \)

\( x \leq 1 \)

Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \).