8. Найдите первообразную функции f(x) = x^2 - 5, график которой проходит через точку A (3;4)

Решение:

1. Найдем общее выражение для первообразной \( F(x) \) функции \( f(x) = x^2 - 5 \), интегрируя \( f(x) \):

\( F(x) = \int (x^2 - 5) dx = \frac{x^3}{3} - 5x + C \), где \( C \) — константа интегрирования.

2. Воспользуемся условием, что график первообразной проходит через точку \( A(3; 4) \). Это означает, что при \( x = 3 \), \( F(x) = 4 \). Подставим эти значения в выражение для \( F(x) \):

\( 4 = \frac{3^3}{3} - 5 \cdot 3 + C \)

\( 4 = \frac{27}{3} - 15 + C \)

\( 4 = 9 - 15 + C \)

\( 4 = -6 + C \)

3. Найдем значение константы \( C \):

\( C = 4 + 6 \)

\( C = 10 \)

4. Подставим найденное значение \( C \) в общее выражение для первообразной:

\( F(x) = \frac{x^3}{3} - 5x + 10 \)

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} - 5x + 10 \).