2. Решите уравнение \(\sqrt{x+13} - \sqrt{x+1} = 2\)

Решение:

1. Перенесём одно из корней в правую часть уравнения:

\( \sqrt{x+13} = 2 + \sqrt{x+1} \)

2. Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x+13})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2 \)

\( x+13 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1) \)

\( x+13 = 4 + 4\sqrt{x+1} + x+1 \)

3. Упростим уравнение:

\( x+13 = x+5 + 4\sqrt{x+1} \)

\( 13 - 5 = 4\sqrt{x+1} \)

\( 8 = 4\sqrt{x+1} \)

4. Разделим обе части на 4:

\( 2 = \sqrt{x+1} \)

5. Снова возведём обе части в квадрат:

\( 2^2 = (\sqrt{x+1})^2 \)

\( 4 = x+1 \)

6. Найдём \( x \):

\( x = 4 - 1 \)

\( x = 3 \)

7. Проверим полученное значение \( x=3 \) в исходном уравнении:

\( \sqrt{3+13} - \sqrt{3+1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \)

Полученное значение удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: x = 3.