10 Решите неравенство (x + 4)² / (x² - 9) \(\leq\) 0.

Решение:

Чтобы решить неравенство \( \frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \leq 0 \), необходимо учесть знаки числителя и знаменателя.

1. Анализ числителя:

Числитель \( (x+4)^2 \) всегда неотрицателен (больше или равен нулю) для любого действительного \( x \).

\( (x+4)^2 \geq 0 \).

\( (x+4)^2 = 0 \) при \( x = -4 \).

\( (x+4)^2 > 0 \) при \( x \neq -4 \).

2. Анализ знаменателя:

Знаменатель \( x^2 - 9 \) не должен быть равен нулю. \( x^2 - 9 \neq 0 \), следовательно \( x^2 \neq 9 \), значит \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).

Знаменатель \( x^2 - 9 \) раскладывается на множители: \( (x-3)(x+3) \).

3. Анализ всего неравенства:

Для того чтобы дробь была меньше или равна нулю (\( \leq 0 \)), при условии, что числитель \( (x+4)^2 \geq 0 \), необходимо, чтобы знаменатель \( x^2 - 9 \) был отрицательным, или чтобы числитель был равен нулю.

Случай 1: Числитель равен нулю.

\( (x+4)^2 = 0 \) => \( x = -4 \).

В этом случае дробь равна \( \frac{0}{(-4)^2 - 9} = \frac{0}{16 - 9} = \frac{0}{7} = 0 \). \( 0 \leq 0 \) — верно. Значит, \( x = -4 \) является решением.

Случай 2: Числитель больше нуля (\( x \neq -4 \)).

В этом случае необходимо, чтобы знаменатель был строго меньше нуля:

\( x^2 - 9 < 0 \)

\( x^2 < 9 \)

Это означает, что \( -3 < x < 3 \).

Учитывая, что \( x \neq -4 \), интервал \( (-3, 3) \) не включает \( -4 \), поэтому мы просто берём этот интервал.

4. Объединение решений.

Объединяем решения из обоих случаев: \( x = -4 \) и \( -3 < x < 3 \).

Таким образом, решениями являются \( x = -4 \) и интервал \( (-3, 3) \).

Ответ: \( x = -4 \) или \( -3 < x < 3 \).